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弹性力学 第5章(6,7节)

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§5-6 位移变分法
位移变分法是取位移为基本未知函数, 假设位移函数形式,使之满足位移边界条 件,利用位移变分方程确定待定系数,从 而求得位移,进而求出形变分量及应力分 量的方法。

瑞利-里茨法

1.瑞利-里茨法
(1)因位移函数是未知的,在变分法中采用设定位移试 函数的方法,令

u ? u0 ( x, y ) ? ? Amum ( x, y ),? ? m ? v ? v0 ( x, y ) ? ? Bm vm ( x, y ). ? m ?

(a)

瑞利-里茨法 u ? u0 ( x, y ) ? ? Amum ( x, y ),? ? m (a) ? v ? v0 ( x, y ) ? ? Bm vm ( x, y ). ? m ? um , vm为在边界上等于零的设定 其中u0 , v0为已知的边界条件, 的x,y的函数,Am Bm为互不依赖的2m个系数。

(u0 ) s ? u, (v0 ) s ? v, (um ) s ? 0, (vm ) s ? 0.

(在 su上) (在 su 上)

(b)

(c)

显然 u,v已满足位移边界条件。而 Am , Bm 用来反映位移
状态的变化,故位移的变分为

δ u ? ? um δ Am , δ v ?? vm δ Bm .
m m

(d)

δ u ? ? um δ Am , δ v ?? vm δ Bm .
m m

( d)

瑞利-里茨法

(2)位移(a)还必须满足位移变分方程

?U ? ?? ( f x δ u ? f y δ v) d x d y ? ? ( f x δ u ? f y δ v) d s .
A s?

( e)

位移的变分通过 Am,Bm 的变分来反映,故形变势能的变分为

?U ?U δU ? ? ( δ Am ? δ Bm ) . ?Bm m ?Am 将式(d),( f )代入(e)得

(f)

?[
m

?U ? ?? f x u m d x d y ? ? f x u m d s ] δ Am ? A s? ?Am

?U [ ? ?? f y vm d x d y ? ? f y vm d s ] δ Bm ? 0 . ? A s? m ?Bm

因虚位移(位移变分)中的 δ Am, δ Bm是完全任意的、独立的,为 了满足上式,必须:

瑞利-里茨法

?U ? ? ?? f xum d x d y ? ? f xum d s,? A s? ?Am ? ?(m ? 1,2?) ?U ? ?? f y vm d x d y ? ? f y vm d s.? ? A s? ?Bm ?

(g)

Bm 式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于Am , Bm,从 的线性代数方程组,由上式可解出 Am ,

而得到位移的解答。

伽辽金法

2.伽辽金法
(1)位移试函数设定与前节一致,且u,v 不仅满足位移 边界条件,而且也满足应力边界条件。 (2)待定系数方程 由虚功方程可知,

?σ y ?? xy ?σ x ?? yx ??A[( ?x ? ?y ? f x ) δ u ? ( ?y ? ?x ? f y ) δ v]d x d y ?

?

s?

[(lσ x ? m? yx ? f x ) δ u ? (mσ y ? l? xy ? f y ) δ v]d s ? 0.

?σ y ?? xy ?σ x ?? yx ??A[( ?x ? ?y ? f x ) δ u ? ( ?y ? ?x ? f y ) δ v]d x d y=0 (h)

满足应力边界条件,则:

?σ y ?? xy ?σ x ?? yx ??A[( ?x ? ?y ? f x ) δ u ? ( ?y ? ?x ? f y ) δ v]d x d y=0 (h)
δ Bm为 将位移的变分δ u, δ v (式(d ))代入,同样由于δ Am , 完全任意的和独立的变分,得到 ? ?σ x ?? yx ??A ( ?x ? ?y ? f x )um d x d y ? 0,? ? (i ) ?(m ? 1,2?) ?σ y ?? xy ? ( ? ? f ) v d x d y ? 0 . ??A ?y ?x y m ? ? 将上式括号内的应力用位移来表示,得伽辽金变分方程:
? E ? 2u 1 ? ? ? 2u 1 ? ? ? 2 v ??A [1 ? ? 2 ( ?x 2 ? 2 ?y 2 ? 2 ?x?y ) ? f x ]um d x d y ? 0,? ? ? 2 2 2 E ? v 1? ? ? v 1? ? ? u ? [ ( ? ? ) ? f ] v d x d y ? 0 . ??A 1 ? ? 2 ?y 2 2 ?x 2 2 ?x?y y m ? ?

( j)

(m ? 1,2?)

伽辽金法

? E ? 2u 1 ? ? ? 2u 1 ? ? ? 2 v ??A [1 ? ? 2 ( ?x 2 ? 2 ?y 2 ? 2 ?x?y ) ? f x ]um d x d y ? 0,? ? ? 2 2 2 E ? v 1? ? ? v 1? ? ? u ? [ ( ? ? ) ? f ] v d x d y ? 0 . ??A 1 ? ? 2 ?y 2 2 ?x 2 2 ?x?y y m ? ?

( j)

(m ? 1,2?)

式( j )也是关于 Am ,Bm 的线性代数方程组,从上式解
Bm,便得到位移的解答。 出Am ,

§5-7 位移变分法例题
例1 图示矩形板a×b, 在上边及右边受有 均布压力 q1 及q2 , 而左边和下边受有 法向连杆的约束。

例题

应用瑞利-里茨法 ,设定位移

u ? A1u1 ? A1 x, v ? B1v1 ? B1 y.
满足两个约束边界条件

(a)

(u ) x ?0 ? 0, (v) y ?0 ? 0.

(b)

例题

其余的应力边界条件及*衡微分方程 由下列变分方程代替(其中f x ? f y ?0 ):
?U ? ? ? f x u1 d s, ? s? ?A1 ? ? ?U ? ? f y v1 d s. ? s? ? ?B1 ?

(c)

对式(c)右边的积分,应包含所有的应力边 界条件(当 f x 或 f y ?0处积分为0),

例题

且其中的 u1 , v1 应代入相应的边界方程。将 式(a)代入 U ,计算式(c)的左边项。 共建立两个方程,求出A1 和B1 ,得位 *獯穑 1
u?? E 1 v ? ? (q2 ? ?q1 ) y. E (q1 ? μq2 ) x,

(d)

对于图示的简单问题,式(d)正好是其 精确解。

例题

例2 本题全部为位移边界条件:
(u , v) x?? α / 2 ? 0, (u , v) y?0 ? 0, (u ) y?b ? 0, (v) y?b ? ? 2 x ? (e) ? ? η(1 ? 2 ).? b ?

例题

本题以y轴为对称轴,∴ u应为x的奇函数, v应为x的偶函数。 设定位移势函数为

(f)

? x xy y u ? A1u1 ? A1 (1 ? 2 ) (1 ? ), ? ? a ab b ? 2 2 x y x y y ? v ? v0 ? B1v1 ? ?η(1 ? 2 ) ? B1 (1 ? 2 ) (1 ? ). a b a b b ? ?
2

(g)

例题

位移(g)已满足对称性条件(f)和全部边 界条件(e)。 因 s ? su ,sσ ?0, 全部为位移边界条件且均 已满足,∴从§5-5 式(u)可见,也可应用 伽辽金变分法。

例题

因 fx ? fy ? 0 ,故伽辽金变分方程为
? ? 2u 1 ? μ ? 2u 1 ? μ ? 2 v 2? ? ( 2 ? ? )u1 d x d y ? 0,? 2 0 0 ?x 2 ?y 2 ?x?y ? (h) ? 2 2 2 a b ? v 1? μ ? v 1? μ ? u ? 2? ? ( 2 ? ? ) v d x d y ? 0 . 1 2 0 0 ?y ? 2 ?x 2 ?x?y ?
a b

将位移(g)代入上式,求出 A1 , B1得出 , 的位*獯鹩胧橹杏萌鹄-里茨法 给出的 结果相同。

解:对a,b列出方程如下:

4Ta ? ?32 ? 35 ? 22 ? Tb ? ? 0,

4Tb ? ?Ta ? 30 ? 20 ? 22? ? 0.
解出

Ta ? 28.53,

Tb ? 25.13(度) .

例题

例题3 单位厚度 (? ? 1) 的深梁,两侧边固 定,上下边受均布荷载q作用,如图所示。 试用位移变分法求解其位移。 (取 a ? b , y ? ? 0 . 2 并设 )。
b u v

b a

o
a

q

q

x

解:在图示荷载作用下,深梁的位移应对 称于x轴,而反对称于y轴。 因此,位移分量u应为 x 、 y 的奇函数, 而v为 x 、y 的偶函数, 如图所示。可以设定位移势函数如下:

x xy 2 2 u ? (1 ? 2 ) [ A1 ? A2 x ? A3 y ? ??], a ab
x 2 2 v ? (1 ? 2 )[ B1? B2 x ? B3 y ? ??]. a
2

2

例题

上式已满足两端的约束边界条件,

x ? ? a,

(u, v) ? 0,

以及对称和反对称性条件。以下按瑞利里茨法进行计算。

例题

假设只取u,v中一项,即
2 x x xy v ? B1v1 ? B1 (1 ? 2 ). u ? A1u1 ? A1 (1 ? 2 ) , a a ab 将u和v代入形变势能公式(*面应力问
2

题),得:

2 2 4 E y x x U1 ? { A12 2 2 (1 ? 6 2 ? 9 4 ) ? 2(1 ? ? ) a b a a 2 2 4 2 2 x x 1? ? 2 x x x 2 x [4 B1 4 ? 4 A1B1 3 (1 ? 2 ) ? A1 2 2 (1 ? 2 2 ? 4 )]}. 2 a ab a ab a a

例题

再积分求 U , a b
0 0

8 a 2 2E 4 b 2 1 ? ? 4 b 2 8 A1 B1 ? A1 ]}. ? { A1 ? [ B 1? 2 15 7 ?15 b 1 ? ? 15 a 2 3a

U ? 4? ? U1dxdy

在本题中体力 f x ? f y ? 0 ,在 y ? ?b边界上 只有 f y ? ?q 的均布荷载, f x ? 0 。由此, 瑞利-里茨方程成为

?U ? 0, ?A1

?U ? ? f y v1ds. ?B1 sσ

应力边界是 y ? ?b ,且 ds ? dx,从 ? a 到 ? a 积分。再将U代入上式,得到两个求 A1, B1 的方程:
2E 8 b 1 ? ? 16 a 8 { A1 ? [ A1 ? B1 ]} ? 0, 2 1 ? ? 15 a 2 7 ?15 b 15
2E 1 ? ? 8 b 8 8 { [ B1 ? A1 ]} ? ? qa. 2 1? ? 2 3a 15 3

例题

当取 ? ? 0.2 ,且a ? b 时,上两式方程简化 39 为 A1 ? B1 ? 0, 35
1 6 qa ? A1 ? B1 ? ? . 5 5 E

由此解出 位移分量的解答是 2 qa x xy u ? ?1.3125 (1 ? 2 ) 2 , E a a 2 qa x v ? ?1.4625 (1 ? 2 ). E a

qa A1 ? ?1.3125 , E

qa B1 ? ?1.4625 . E

例题4图中所示的薄板,厚度 ? ? 1,三边固 定,一边受到均布压力q的作用。试用瑞利 -里茨的位移变分法求解,其中 ? ? 0。 取 a ? b, y q

例题

b a a x

解:在瑞利-里茨法中, 设定位移试函数应 满 足位移边界条件,并 应反映图示问题的 对称性。取

u ? ( x ? a ) xy[ A1 ? A2 y ? A3 x ? ??],
2 2 2

v ? ( x ? a ) y[ B1 ? B2 y ? B3 x ? ??].
2 2 2

例题

上式已反映了位移对称于y轴的要求:v为x的 偶函数,u为x的奇函数。 仅取各一项进行运算,

u ? A1u1 ? A1 ( x ? a ) xy,
2 2
2 2

由于体力 f x ? f y ? 0,面力只存在于AB边 ( y ? b ),因此求解 A1, B1 的位移变分方程 为:

v ? B1v1 ? B1 ( x ? a ) y.

例题

?U ? 0, ?A1
?U ? ? f y ?v1 ?y ?b dx. AB ?B1

( a)
( b) ? 0 时,形变

当 a ? b,且取泊松系数 ? 势能简化为

将u、v 代入, 1 2 2 4 4 ? 2 2 4 4 2 2 2 2 E ? A1 y 9 x ? a ? 6a x ? A1 x x ? a ? 2a x U1 ? 2 2? 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ? ? B1 x ? a ? 2a x ? 2B1 x y ? 2 A1B1 x x ? a

E ?u 2 ?v 2 1 ?u ?v 2 U1 ? [( ) ? ( ) ? ( ? ) ]. 2 ?x ?y 2 ?y ?x

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?. ? y. ?

形变势能U为
U ? 2? ? U1dxdy
0 0 a a

2 32 34 2 ? Ea [ A1 a ? ? B1 ? ? A1B1a ? ]. 15 7 ?15 3 ?15
6 2 2

将U及 f y ? ?q( y ? b) 代入式(a),(b),得

32 aA1 ? B1 ? 0, 7 34 q ? A1a ? B1 ? 10 2 . 3 Ea

(c)

(d)

例题

从式(c)、 (d)解出
210 q A1 ? , 3 1067 Ea

960 q B1 ? . 2 1067 Ea

于是得到位移分量, 2 2 960 qy x 210 qxy x v?? (1 ? 2 ). u?? (1 ? 2 ), 1067 E a 1067 Ea a 再求应力分量,取 ? ? 0 ,得:

例题

?u 210 y 3x ?v 960 x2 q(1 ? 2 ), ?x ? E ? ? q (1 ? 2 ), ? y ? E ? ? ?y 1067 a ?x 1067 a a
2

E ?u ?v 1 x x y ? xy ? ( ? ) ? ? q [105(1 ? 2 ) ? 960 ]. 2 ?y ?x 1067 a a a
2

在对称轴上,x=0, 210 y ? ?? q , τ xy ? 0. 1067 a 在 y ? 0 边界, 2 2 105 x x 960 x q (1 ? 2 ). ?y ? ? q(1 ? 2 ), , ? yx ? ?
x

1067

a

1067 a

a

本题中,由于u,v中各只取一项,且 取 ? ? 0 ,因此,求出的位*獾木冉系停 而由**獾奈灰魄笥ακ保溆α 要降低一阶,其精度更差些。对于实际问 题,应取更多的项数进行计算。

教学参考资料

总结 1.变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。 在变分法中根据*衡状态时的能量处于极小值 的条件,建立变分方程,并进行求解。弹性 力学中的变分方程和微分方程是沟通的,可 以互相导出。 由于变分法得出的常常是*似的解答,所以也 将变分法归入弹性力学的**夥ā

教学参考资料

2.有限单元法是20世纪中期发展起来 的弹性力学**夥āT谟邢薜ピㄖ, 首先将区域离散化,把连续体变换为离散 化结构;然后将连续体的能量极小值条件 应用到离散化结构,从而建立求解的方法。 有限单元法应用计算机进行计算,可 以有效地解决各种复杂的工程问题。

教学参考资料

3. 对 于 工 程 技 术 人 员 来 讲 , 这 些 弹 性 力学的**夥ǎ怯美唇饩鍪导饰侍 的有效手段。因此,读者不仅要理解, 而且要能应用这些**夥ā

教学参考资料

(二)本章内容提要 1.变分法是研究泛函及其极值的求解方 法。 弹性力学中的位移变分法,是取位 移函数为宗量,由总势能处于极小值的 条件来导出变分方程,然后进行求解的。 以下列出*面应力问题的有关变分公式 及方程。

教学参考资料

2.弹性体的功和能

总势能

E p ? U ?V ,
A sσ

外力功 W ? ?? ( f xu ? f y v) d x d y ? ? ( f xu ? f y v) d s, 外力势能

V ? ?W .

形变(内力)势能 U ? 1 ?? (σ x? x ?σ y? y ?? xy? xy )d xd y 2 A
? E 2 1? μ2

? ?

? ?

1 2 ? ? 2 2 ε ? ε ? 2 ?? ? ? γ xy ? d x d y x y x y ??A ? 2 ? ?

2 2 2 ? E ?u ?v 1 ? μ ? ?v ?u ? ? ? ?u ? ? ?v ? ? ? ? ? 2μ ? ? ? ? ? ? d x d y. ? ?? 2 ??A ? ? ? ? ? 2 1? μ ?x ? ? ?y ? ?x ?y 2 ? ?x ?y ? ? ? ? ? ?

教学参考资料

3.在虚位移上弹性体的功和能

虚位移(位移变分) ?u, ?v ,是在约束条件允
许下,在*衡状态附*的微小位移增量。

虚位移状态

u ? u ? ?u, v ? v ? ?v,
' '

其中u,v为实际*衡状态下的位移。

教学参考资料

当虚位移发生时,外力的虚功

?W ? ?? ( f x?u ? f y?v) d x d y ? ? ( f x?u ? f y?v) d s. A s 外力势能的变分 ?V ? ??W .
σ

形变势能的变分

?U ? ?? (σ x??x ? σ y?? y ? ? xy?? xy ) d x d y.
A

教学参考资料

4.变分方程 ⑴在封闭系统中,假定没有非机械能的改 变,也没有动能的改变,则按照能量守恒 定律,在虚位移过程中,形变势能的增加 应等于外力势能的减少,即

?U ? ?W .
上式也可以改用下列各形式表示和解释。 ⑵位移变分方程
?U ? ?? ( f x?u ? f y?v) d x d y ? ? ( f x?u ? f y?v) d s.
A s?

教学参考资料

⑶虚功方程

?? (σ ?? ? σ ?? ? ? ?? ) d x d y ? ?? ( f ?u ? f ?v) d x d y ? ? ( f ?u ? f
A A x x y y xy xy x y s? x

y

?v) d s.

⑷最小势能原理

δ E p ? 0 δ 2 E p ? 0,
V 其中 E p ? U ?。或者表示为,

E p ? min.

教学参考资料

⑸位移变分方程的又一形式
?σ y ?? xy ?σ x ?? yx ? ?? [( ? ? f x )δu ? ( ? ? f y )δv]d xd y ? A ?x ?y ?y ?x

?

s?

[(lσ x ? m? yx ? f x ) δ u ? (m? y ? l? xy ? f y ) δ v] d s ? 0.

教学参考资料

7.位移变分法

⑴瑞利-里茨法:设定位移试函数,
u ? u0 ( x, y ) ? ? Am u m ( x, y ), v ? v0 ( x, y ) ? ? Bm vm ( x, y ),
m m

预先满足su 上的约束边界条件,再满足瑞 利-里茨变分方程,
?U ? ? ?? f x um d x d y ? ? f x um d s,? A sσ ?Am ? (m ? 1,2?) ? ?U ? ?? f y vm d x d y ? ? f y vm d s. ? A sσ ? ?Bm ?

教学参考资料

⑵伽辽金法:设定位移势函数预先满足

su

上的约束边界条件和sσ 上的应力边界条 件,再满足伽辽金变分方程,

? E ? 2u 1 ? μ ? 2u 1 ? μ ? 2 v s ??A[1 ? μ 2 ( ?x 2 ? 2 ?y 2 ? 2 ?x?y ) ? f x ]um d x d y ? 0,? ? ?(m ? 1,2?) 2 2 2 E ? v 1? μ ? v 1? μ ? u ? [ ( ? ? ) ? f ] v d x d y ? 0 . ??A 1 ? μ 2 ?y 2 2 ?x 2 2 ?x?y y m ? ?
σ

教学参考资料

8.对变分法的简单评价
⑴位移变分法适用于具有各种边界条件的 问题,因此,它的适用范围广泛。 ⑵变分法中设定试函数时,一般总是局限 于某种函数的范围内,不是完全任意的。 因此,变分法得出的通常是**狻 ⑶由于位*獯鹗*似的,在求导运算后 要降低精度。因此在位移变分法中,应 力的精度低于位移的精度。

教学参考资料

⑷用变分法求解实际问题时,主要的难点 在于: a.设定试函数必须预先满足一定的边界条 件; b.当试函数中所取项数较多时,计算工作 量很大。但与求解微分方程的解法相比, 变分法具有更容易和更有可能地解决实 际问题的能力。因此,变分法得到了广 泛的应用。




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